프랑스의 수학자·과학철학자로서 수학분야 전반에 걸쳐 탁월한 재능을 발휘했다.

푸앵카레는 1854년 프랑스의 낭시에서 태어났다. 청소년기 때부터 수학에 남다른 관심을 보였고, 눈이 나빠 칠판 글씨를 똑똑히 볼 수 없었으나 기억력이 비상해서 한번 읽은 것이나 들은 것은 거의 잊어버리지 않았다고 한다.

제 1차 세계대전 동안 프랑스 공화정의 대통령을 지낸 유명한 정치가 레이몽 푸앵카레의 사촌이었다.  1875년 에콜 폴리테크니크를 졸업한 후 앙리는 1879년 광산학교에서 채광기사 자격을 취득하였으며, 같은 해에 파리 대학교에서 이학박사 학위를 받았다.  광산학교를 졸업하자마자 그는 카엥 대학교의 강사로 임명되었으나, 2년 후 파리 대학교로 옮겨 1912년 죽을 때까지 수학과 과학의 여러 교수직을 가졌다.
  푸앵카레는 수학 분야에서 전반적으로 능통한 마지막 학자로 묘사되고 있다.

그는 자기동형 함수 개념을 발전시키고, 무한차 행렬식의 수렴 문제와 미분방정식의 해에서 점근전개와 적분불변식의 새로운 수학 기술을 발견하는 등 수학분야에 대단히 중요한 기여를 했다. 또한 차원이란 무엇인가에 대한 연구와 확률론의 기본법칙 도출도 시작했으며, 수학자로 명성을 얻은 뒤에는 자신의 문학적 재능을 과학과 수학의 의미와 중요성을 일반대중에게 설명하는데 썼다.

푸앵카레는 한 분야에 결코 오래 머물려고 하지 않았고, 이 영역 저 영역으로 재빠르게 옮겨다니길 좋아했다. 그래서 그의 동시대인 중의 한 사람은 그를 '식민지 개척자가 아닌 정복자'로 묘사했다. 미분방정식에 관한 박사학위 논문은 그것의 존재 정리에 관한 것이었다.  이 논문으로 해서 그는 자기동형함수, 특히 소위 제타-푸크스 함수의 이론을 발전시켰는데 푸앵카레는 이것이 대수적 계수를 가지는 2계 선형미분방정식을 푸는 데 이용될 수 있음을 보였다.  푸앵카레는 라플라스처럼 확률론 분야에 상당한 기여를 하였다. 그는 또한 20세기의 관심분야인 위상수학에 참여하여 오늘날 수열적 위상수학의 푸앵카레군에 그의 이름이 나타난다.   응용 수학에서 이 다재다능한 천재는 광학, 전기학, 전신, 모세관현상, 탄성, 열역학, 전위이론, 양자이론, 상대성이론, 우주진화론 같은 다양한 분야에 기여했다.

그는 30여 권의 책과 500편의 전문 논문을 쓴 다작의 학자였다. 주요저서로는 <과학과 가설 La Science et l'hypothése>(1903)·<과학의 가치 La Valeur de la science>(1905)·<과학과 방법 Science et méthode>(1908)이 있다. 1906년에는 과학 아카데미가, 1908년에는 아카데미 프랑세즈가 회원으로 받아들임으로써 그의 업적과 중요성을 인정했다.

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